cách giải hệ phương trình 5 ẩn

B1: lựa chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn . Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn, màn hình hiển thị hiển thị. B2: Khai báo các hệ số của phương trình, các hệ số phương pháp nhau bởi dấu “=”B3: bấm tiếp “=” để xem kết quả. Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: \\( \\left\\{{}\\begin{matrix}x\\left(x+1\\right)\\left(3y+5y\\right)=144\\\\x^2+4x+ Tài liệu Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ do VnDoc biên soạn giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố thêm kiến thức để làm tốt đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán sắp tới. ¤ Cách giải 1: Khử dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa (nên sử dụng khi 1 trong 2 vế của phương trình có bậc 2) + Nếu 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3 thì: (1) ⇔ 3x – 2 = 2x + 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện x ≥ 2/3). a) Quy tắc thế. - Quy tắc nạm dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Phép tắc thế bao hàm hai cách sau: - cách 1: từ một phương trình của hệ đã mang đến (coi là phương trình thức nhất), ta màn biểu diễn một ẩn theo ẩn cơ rồi cố Schwuler Mann Sucht Frau Zum Heiraten. Tài liệu gồm 69 trang phân dạng và tuyển tập các bài tập hệ phương trình nhiều ẩn do thầy Trần Sĩ Tùng biên dung tài liệu I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Đặt S = x + y, P = xy. Đưa hệ phương trình I về hệ II với các ẩn là S và P. Giải hệ II ta tìm được S và P. Tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình X^2 – SX + P = 0. 3. Hệ đối xứng loại 2 Trừ vế theo vế và đưa về phương trình tích. 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Giải hệ khi x = 0 hoặc y = 0. Khi x ≠ 0, đặt y = kx. Thế vào hệ I ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được x; y. [ads] III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Vấn đề 1 Phương pháp thế Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này. Một số dạng thường gặp + Dạng 1 Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y. + Dạng 2 Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc nhất hai ẩn. + Dạng 3 Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của một ẩn với ẩn còn lại là tham số. Chú ý Đôi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một trong các dạng trên. Vấn đề 2 Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi các phương trình của hệ để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản. Vấn đề 3 Phương pháp đánh giá Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức. Vấn đề 4 Phương pháp hàm số Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Vấn đề 5 Hệ phương trình hoán vị vòng quanh Vấn đề 6 Hệ phương trình giải được bằng phương pháp lượng giác hoá Vấn đề 7 Hệ phương trình chứa tham số Vấn đề 8 Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình Phương Trình - Hệ Phương Trình - Bất Phương TrìnhGhi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected] A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN1. Phương pháp cộng đại số2. Phương pháp thếB. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢIC. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỰ GIẢI 1. Phương pháp cộng đại số Bước 1 Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2 Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình thu gọn để được phương trình một ẩn. Bước 3 Dùng phương trình thu được ở bước 2 thay cho một trong hai phương trình trong hệ ban đầu ta được hệ mới trong đó có phương trình một ẩn. Bước 4 Giải phương trình một ẩn thu được và kết luận. 2. Phương pháp thế Bước 1 Từ một phương trình của hệ đã cho coi là phương trình thức nhất, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2 Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1. Bước 3 Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Bước 4 Kết luận. Để nắm được cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với 2 phương pháp vừa nêu trên chúng ta cần phải làm thật nhiều bài tập. B. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI Bài 1 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5\,\,\,\,1} \\ {2x+y=8\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {2x+y=8} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {4x+2y=16} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {7x=21} \end{array}} \right.$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\3\cdot 3-2y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Chú ý Ta nên rút $y$ theo $x$ ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của $y$ là 1. Ta có 2 ⇔ $y = 8 – 2x$. Thay vào 1 ta được $3x – 28 – 2x = 5$ ⇔ $7x – 16 = 5$ ⇔ $7x = 21$ ⇔ $x = 3$. Với $x = 3$ thì $y = 8 – = 2$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 3;2$. Bài 2 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3\,\,\,\,1} \\ {x-3y=5\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {x-3y=5} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {4x-12y=20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {17y=-17} \end{array}} \right.$ $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x-5=3} \\ {y=-1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Từ PT 2 ta có $x = 5 + 3y$. Thay $x = 5 + 3y$ vào PT 1 ta được $45 + 3y + 5y = 3$ ⇔ $12y + 5y + 20 = 3$ ⇔ $17y = – 17$ ⇔ $y = –1$. Với $y = –1$ thì $x = 5 + 3 –1 = 2$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 2;-1$. Bài 3 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3\,\,\,\,1} \\ {2x-3y=17\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {2x-3y=17} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {4y=-20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x-5=-3\\y=-5\end{array} \right.$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-5\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Từ PT 1 ta có $y = –3 – 2x$. Thay $y = –3 – 2x$ vào PT 2 ta được $2x – 3–3 – 2x = 17$ ⇔ $2x + 6x + 9 = 17$ ⇔ $8x = 8$ ⇔ $x = 1$. Với $x = 1$ thì $y = –3 – = – 5$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 1;- 5$. C. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỰ GIẢI 1 $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=4 \\ 2 x+y=5\end{array}\right.$ 2 $\left\{\begin{array}{c}2 x+y=7 \\ -x+4 y=10\end{array}\right.$ 3 $\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$ 4 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ x-y=0\end{array}\right.$ Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình vô tỉ phương trình có chứa dấu căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đặt $u = tx$, ta được một hệ theo biến $u$ và biến $x.$ Hoặc $u = tx$, $v = kx$ ta được hệ mới theo biến $u$ và biến $v.$ Thông thường cả hai cách đặt đều dẫn đến hệ phương trình đối xứng loại $2$.B. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + \sqrt {1 + x} = 1.$Lời giải Điều kiện $ – 1 \le x \le 1.$ Đặt $u = \sqrt {x + 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{u^2} = 1 + x} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{x^2} – {u^2} = – x + u} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {x + ux – u + 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {x – u + 1 = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – u}\\ {{x^2} – x – 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\ {x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$ do $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {{x^2} + x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 1$, $x = 0$, $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x – 1}}.$Lời giải Đặt $y = \sqrt[3]{{2x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {y^3} = 2x – 1$ $ \Leftrightarrow {y^3} + 1 = 2x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 2y\\1}\\ {{y^3} + 1 = 2x\\2} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình $1$ trừ phương trình $2$ vế theo vế ta được phương trình ${x^3} – {y^3} = 2y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {{x^2} + xy + {y^2} + 2 = 0\\3} \end{array}} \right..$ Ta có ${x^2} + xy + {y^2} + 2$ $ = {\left {x + \frac{1}{2}y} \right^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 2 > 0$, $\forall x$, $y$ nên phương trình $3$ vô nghiệm. Thay $y = x$ vào phương trình ${x^3} + 1 = 2y$ ta được phương trình ${x^3} + 1 = 2x$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2x + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow x – 1\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = 1$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x – 9}} = {x – 3^3} + 6.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x – 9}}}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^3} + 6 = v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {v = {u^3} + 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v = {v^3} – {u^3}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v\left {{u^2} + {v^2} + uv + 1} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u = v} \end{array}} \right.$ do ${u^2} + {v^2} + uv + 1$ $ = {\left {u + \frac{v}{2}} \right^2} + \frac{3}{4}{v^2} + 1 > 0$, $\forall u$, $v$. $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^3} – u + 6 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {u + 2\left {{u^2} – 2u + 3} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 2}\\ {v = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 1.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x =1.$ Ví dụ 4. Giải phương trình $\sqrt[3]{{24 + x}} + \sqrt {12 – x} = 6.$Lời giải Điều kiện $x \le 12.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{24 + x}}}\\ {v = \sqrt {12 – x} \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 24 + x}\\ {{v^2} = 12 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 6}\\ {{u^3} + {v^2} = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {{6 – u}^2} = 36} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {u^2} – 12u = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {uu – 3u + 4 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {u = 3}\\ {u = – 4} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 0}\\ {12 – x = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 24.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 27}\\ {12 – x = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = – 64}\\ {12 – x = 100} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 88.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = – 88$, $x = – 24$, $x = 3.$Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 34}} – \sqrt[3]{{x – 3}} = 1.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt[3]{{x + 34}}}\\ {b = \sqrt[3]{{x – 3}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} = x + 34}\\ {{b^3} = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {a^3} – {b^3} = 37.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a – b = 1}\\ {{a^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {{{1 + b}^3} – {b^3} = 37} \end{array}.} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {1 + 3b + 3{b^2} + {b^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = 3}\\ {a = 4} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = – 4}\\ {a = – 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $b = 3$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow {3^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = 30.$ + Với $b =–4$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow { – 4^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = – 61.$ Kết luận phương trình có nghiệm là $x = 30$, $x=-61.$ Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt {x – 1} + x – 3$ $ = \sqrt {2{{x – 3}^2} + 2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {x – 1} ,u \ge 0}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {u^2} + 1}\\ {x = v + 3} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v = \sqrt {2{u^2} + 2{v^2}} }\\ {{u^2} + 1 = v + 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v \ge 0}\\ {u = v}\\ {{u^2} – u – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 5.$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt[4]{{56 – x}} + \sqrt[4]{{x + 41}} = 5.$Lời giải Điều kiện $ – 41 \le x \le 56.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{56 – x}} \ge 0}\\ {v = \sqrt[4]{{x + 41}} \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^4} + {v^4} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{{\left {{u^2} + {v^2}} \right}^2} – 2{u^2}{v^2} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^2}{v^2} – 50uv + 264 = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 44} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 2}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 3}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 16}\\ {x + 41 = 81} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 81}\\ {x + 41 = 16} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 40}\\ {x = – 25} \end{array}} \right..$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=40$, $x=-25.$ Ví dụ 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{2 – x}^2}}} + \sqrt[3]{{{{7 + x}^2}}}$ $ – \sqrt[3]{{2 – x7 + x}} = 3.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{2 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{7 + x}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {{u^3} + {v^3} = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {u + v\left {{u^2} + {v^2} – uv} \right = 9} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {{{u + v}^2} – 3uv = 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {uv = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $u = 2$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 2$ $ \Leftrightarrow x = – 6.$ + Với $u = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$Ví dụ 9. Giải phương trình $\sqrt {4x + 1} – \sqrt {3x – 2} $ $ = \frac{{x + 3}}{5}.$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{2}{3}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {4x + 1} }\\ {v = \sqrt {3x – 2} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} – {v^2} = x + 3}\\ {u – v = \frac{{x + 3}}{5}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = \frac{{x + 3}}{5}}\\ {u + v = 5} \end{array}} \right..$ Suy ra $2u = \frac{{25 + x + 3}}{5}$ $ \Leftrightarrow u = \frac{{28 + x}}{{10}}.$ Suy ra $\sqrt {4x + 1} = \frac{{28 + x}}{{10}}$ $ \Leftrightarrow 4x + 1 = {\left {\frac{{28 + x}}{{10}}} \right^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = 342} \end{array}} \right..$ Thử lại ta được nghiệm của phương trình là $x = 2.$Ví dụ 10. Giải phương trình $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 – x} .$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt x }\\ {v = \sqrt {1 – x} } \end{array}} \right..$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 + \frac{2}{3}uv = u + v}\\ {{u^2} + {v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 + 2uv = 3u + v}\\ {{{u + v}^2} – 2uv = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2uv = 3u + v – 3}\\ {{{u + v}^2} + 3 = 3u + v + 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 2}\\ {uv = \frac{3}{2}} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = 0} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x= 0$, $x=1.$ Ví dụ 11. Giải phương trình ${x^2} – 2x = 2\sqrt {2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{1}{2}.$ Phương trình đã cho tương đương ${x – 1^2} – 1 = 2\sqrt {2x – 1} .$ Đặt $y – 1 = \sqrt {2x – 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 2x = 2y – 1}\\ {{y^2} – 2y = 2x – 1} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 2 .$ + Với $x = – y$ $ \Rightarrow – x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 2 + \sqrt 2 .$Ví dụ 12. Giải phương trình $2{x^2} – 6x – 1 = \sqrt {4x + 5} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{5}{4}.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} – 11 = 2\sqrt {4x + 5} .$ Đặt $2y – 3 = \sqrt {4x + 5} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{2x – 3}^2} = 4y + 5}\\ {{{2y – 3}^2} = 4x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y – 2 = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 2x – 3 = \sqrt {4x + 5} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 3 .$ + Với $x + y – 2 = 0$ $ \Rightarrow y = 2 – x$ $ \Rightarrow x = 1 – \sqrt 2 .$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 1 – \sqrt 2 $, $x = 2 + \sqrt 3 .$Ví dụ 13. Giải phương trình $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6}$ $ = \sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{{61}}{{12}}.$ Đặt $\sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} = y + \frac{1}{6}$, $y \ge – \frac{1}{6}$ $ \Rightarrow \frac{{12x + 61}}{{36}} = {y^2} + \frac{1}{3}y + \frac{1}{{36}}.$ $ \Leftrightarrow 12x + 61 = 36{y^2} + 12y + 1$ $ \Leftrightarrow 3{y^2} + y = x + 5$ $1.$ Mặt khác từ phương trình đã cho ta có $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6} = y + \frac{1}{6}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} + x = y + 5$ $2.$ Từ $1$ và $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + x = y + 5}\\ {3{y^2} + y = x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – y3x + 3y + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {y = – \frac{{3x + 2}}{3}} \end{array}} \right..$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 3{x^2} = 5$ $ \Rightarrow x = \sqrt {\frac{5}{3}} .$ + Với $y = – \frac{{3x + 2}}{3}$ $ \Rightarrow 3{x^2} + x = – \frac{{3x + 2}}{3} + 5$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x – 13 = 0.$ $ \Rightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {126} }}{9}.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = \sqrt {\frac{5}{3}} $, $x = \frac{{ – 1 – \sqrt {14} }}{3}.$Ví dụ 14. Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} – 3\sqrt[3]{{3x + 5}}$ $ = 1 – 3x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} = 3\sqrt[3]{{3x + 5}} + 2.$ Đặt $\sqrt[3]{{3x + 5}} = y + 1$ $ \Rightarrow 3x + 5 = {y + 1^3}.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${x + 1^3} = 3y + 5.$ Từ đó ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = 3y + 5}\\ {{{y + 1}^3} = 3x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3}$ $ = – 3x – y.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 3} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ Vì ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 3 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 3x + 5$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có hai nghiệm là $x=1$, $x= -2.$ Ví dụ 15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[3]{{2x + 3}} = {x + 1^3} – x – 2.$ Đặt $y + 1 = \sqrt[3]{{2x + 3}}$ $ \Rightarrow {y + 1^3} = 2x + 3.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = x + y + 3}\\ {{{y + 1}^3} = 2x + 3} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3} = y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 1} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ do ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 1 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 2x + 3$ $ \Leftrightarrow x + 2\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 2}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 2$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Lưu ý + Từ các ví dụ 11, 12, 13, 14 và 15, các bạn hãy tự rút ra quy tắc về cách đặt ẩn phụ trong các ví dụ này. Nguyên tắc là đặt để sau đó có được hệ đối xứng, vậy quy tắc ở đây là gì? + Các bài toán dạng này còn có thể giải được bằng phương pháp hàm dụ 16. Giải phương trình $x + \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } = 6.$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt {x – 1} \ge 0}\\ {b = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^2} + b = 5}\\ {{b^2} – a = 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $a + ba – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a + 1 = b.$ Suy ra $\sqrt {x – 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } $ $ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 5 – x$ $ \Rightarrow x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$Ví dụ 17. Giải phương trình $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } } } .$Lời giải Để $x$ là nghiệm thì $x > 0.$ Đặt $u = \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } }\\ {4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } } \end{array}} \right.$ $1.$ + Giả sử $x \ge u$, khi đó ta có $4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $ \ge \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } = 4x$ $ \Rightarrow u \ge x.$ Suy ra ta có $x = u$, hay $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $2.$ Đặt $v = \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} .$ Kết hợp với phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x = \sqrt {30 + v} }\\ {4v = \sqrt {x + 30} } \end{array}} \right.$ $3.$ + Giả sử $x \ge v$, khi đó $4v = \sqrt {x + 30} $ $ \ge \sqrt {v + 30} = 4x$ $ \Rightarrow v \ge x$ $ \Rightarrow x = v.$ Vậy $x = v$ hay $4x = \sqrt {x + 30} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {16{x^2} = x + 30} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$ Kết luận Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$Ví dụ 18. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt {1 – x} $ $ – 2\sqrt {x1 – x} $ $ – 2\sqrt[4]{{x1 – x}} = – 1.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^4} + {v^4} = 1$ $1.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + {v^2} – 2{u^2}{v^2} – 2uv = – 1$ $2.$ Kết hợp phương trình $1$ và phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + 1 – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + {u^4} + {v^4} – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{{u – v}^2} + {{\left {{u^2} – {v^2}} \right}^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {u – v = 0}\\ {{u^2} – {v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^4} = {v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{1}{2}.$Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt[4]{{x{{1 – x}^2}}} + \sqrt[4]{{{{1 – x}^3}}}$ $ = \sqrt {1 – x} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}1 – x}}.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right..$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + u{v^2} + {v^3}$ $ = {v^2} + {u^3} + {u^2}v.$ $ \Leftrightarrow {u^2} – {v^2}$ $ – \left {{u^3} – {v^3}} \right$ $ – uvu – v = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – \left {{u^2} + uv + {v^2}} \right – uv} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – {{u + v}^2}} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – vu + v[1 – u + v] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ do $u$ và $v$ không đồng thời bằng không nên $u + v > 0$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} = \frac{1}{2}}\\ {{v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{{\left[ {{{u + v}^2} – 2uv} \right]}^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {1 – 4uv + 4{u^2}{v^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uvuv – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 2} \end{array}{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {1 – x = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {1 – x = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 1.$Ví dụ 20. Giải phương trình $\frac{{34 – x\sqrt[3]{{x + 1}} – x + 1\sqrt[3]{{34 – x}}}}{{\sqrt[3]{{34 – x}} – \sqrt[3]{{x + 1}}}} = 30.$Lời giải Điều kiện $\sqrt[3]{{34 – x}} \ne \sqrt[3]{{x + 1}}$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{33}}{2}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x + 1}}}\\ {v = \sqrt[3]{{34 – x}}} \end{array}} \right.$ $u \ne v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{v^3}u – {u^3}v}}{{v – u}} = 30}\\ {{u^3} + {v^3} = 35} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uvu + v = 30}\\ {{{u + v}^3} – 3uvu + v = 35} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Khi $u =2$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 8$ $ \Leftrightarrow x = 7.$ + Khi $u =3$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 3$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 27$ $ \Leftrightarrow x = 26.$ Kết luận Phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 7$, $x = 26.$Ví dụ 21. Giải phương trình $\frac{{\sqrt[3]{{7 – x}} – \sqrt[3]{{x – 5}}}}{{\sqrt[3]{{7 – x}} + \sqrt[3]{{x – 5}}}} = 6 – x.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{7 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{x – 5}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{{u^3} – {v^3}}}{2} = 6 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{u – v}}{{u + v}} = \frac{1}{2}\left {{u^3} – {v^3}} \right} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {u – v = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 1}\\ {{v^3} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 – x = 1}\\ {x – 5 = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 6.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left {{u^2} + {v^2} – uv} \rightu + v = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {{u^3} + {v^3} = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {{v^3} = 2} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 2}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 7}\\ {x = 5} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 5$, $x = 6$, $x = 7.$Ví dụ 22. Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x + 1}} = \sqrt[4]{{2x + 1}}.$Lời giải Điều kiện $x \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}} = 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}}}\\ {v = \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 0.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x=0.$ Ví dụ 23. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2.$Lời giải Vì $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho tương đương $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} }} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 2}\\ {\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x} \end{array}} \right..$ Suy ra $2\sqrt {{x^2} + x + 1} = x + 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge – 2}\\ {4{x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 4x + 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x= 0.$ Ví dụ 24. Giải phương trình $4{x^2} – 11x + 10$ $ = x – 1\sqrt {2{x^2} – 6x + 2} .$Lời giải Điều kiện $2{x^2} – 6x + 2 \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 1\sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} .$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2x – 3}\\ {v = \sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + x + 1 = x – 1v}\\ {{v^2} + x + 1 = x – 1u} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${u^2} – {v^2} = x – 1v – u$ $ \Leftrightarrow u – vu + v + x – 1 = 0.$ + Với $u = v$ $ \Rightarrow {u^2} + x + 1 = x – 1u.$ $ \Leftrightarrow {2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 12x – 3$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 6x + 7 = 0$ vô nghiệm. + Với $u + v + x – 1 = 0$ $ \Rightarrow 2x – 3$ $ + \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} $ $ + x – 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} = 4 – 3x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le \frac{4}{3}}\\ {7{x^2} – 18x + 14 = 0} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho vô dụ 25. Giải phương trình ${x^3} – 5{x^2} + 4x – 5$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}}.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} – 8{x^2} + x – 6$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {v = \sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xv}\\ {{v^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xu} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $u – v\left {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x = 0\\1} \end{array}} \right..$ + Với $u = v$, ta được $\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}} = x + 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$ + Ta có ${u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x$ $ = {\left {\frac{u}{2} + v} \right^2}$ $ + \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ \ge \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{{x + 1}^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{x^2} – 2x + 7}}{4} > 0.$ Nên phương trình $1$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2.$Ví dụ 26. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 3\sqrt[3]{{3x – 1}}.$Lời giải Đặt $u = \sqrt[3]{{3x – 1}}$ $ \Rightarrow {u^3} + 1 = 3x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 3u}\\ {{u^3} + 1 = 3x} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – u\left {{x^2} + xu + {u^2} + 3} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = u}\\ {{x^2} + xu + {u^2} + 3 = 0\\{\rm{vô\nghiệm}}} \end{array}} \right..$ Với $x = u$, ta được phương trình ${x^3} – 3x + 1 = 0$ $1.$ Xét $x \in [ – 2;2].$ Đặt $x = 2\cos t$, $x \in [0;\pi ].$ Phương trình $1$ trở thành $8{\cos ^3}t – 6\cos t = – 1.$ $ \Leftrightarrow \cos 3t = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}.$ Do $x \in [0;\pi ]$ $ \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{9}$, $t = \frac{{4\pi }}{9}$, $t = \frac{{8\pi }}{9}.$ Suy ra $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}.$ Vì phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên phương trình trên có ba nghiệm $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}$ và không còn nghiệm nào khác nằm ngoài đoạn $x \in [ – 2;2].$C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. ĐỀ BÀI 1. Giải phương trình $2{x^3} = 1 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{2}}}.$2. Giải phương trình ${x^3} – 3\sqrt[3]{{3x + 2}} = 2.$3. Giải phương trình $2\sqrt[3]{{3x – 2}} + 3\sqrt {6 – 5x} – 8 = 0.$4. Giải phương trình $3 + \sqrt {3 + \sqrt x } = x.$5. Giải phương trình $2x = \sqrt[3]{{7 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 7}}{8}}}}}.$6. Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt {2007 + \sqrt x } .$7. Giải phương trình $2x = \sqrt {1 + \frac{3}{2}\sqrt {1 + 3x} } .$8. Giải phương trình $2x = \sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {x + 3} } } } .$9. Giải phương trình ${x^2} – 4x – 3 = \sqrt {x + 5} .$10. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 3 = \sqrt {x + 3} .$11. Giải phương trình $3{x^2} + 6x – 3 = \sqrt {\frac{{x + 7}}{3}} .$12. Giải phương trình $7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} .$13. Giải phương trình $\sqrt {2x + 15} = 32{x^2} + 32x – 20.$14. Giải phương trình $\sqrt[3]{{3x – 5}} = 8{x^3} – 36{x^2} + 53x – 25.$15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{81x – 8}} = {x^3} – 2{x^2} + \frac{4}{3}x – 2.$16. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + 1} – \sqrt {{x^2} + 1} = {x^2}.$17. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + \sqrt[3]{x} = 3.$18. Giải phương trình $x + 3\sqrt { – {x^2} – 8x + 48} = x – 24.$19. Giải phương trình $\sqrt {2 – {x^2}} = {2 – \sqrt x ^2}.$20. Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{1 – x}^3}} – \sqrt {{{1 + x}^3}} } \right]$ $ = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} .$21. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} – \sqrt {1 – x} = x + 1.$22. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1} $ $ = 2x + \sqrt {{x^2} – x + 1} .$23. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} $ $ + \sqrt {2{x^2} – x + 1} $ $ = x + 4.$24. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 9x + 24} $ $ – \sqrt {6{x^2} – 59x + 149} $ $ = 5 – x.$25. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 3x.$26. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{x + 1}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}$ $ + \sqrt[3]{{xx + 1}} = 1.$27. Giải phương trình $x + 5\sqrt {x + 1} + 1 = \sqrt[3]{{3x + 4}}.$28. Giải phương trình $8{x^2} – 13x + 7$ $ = \left {1 + \frac{1}{x}} \right\sqrt[3]{{3{x^2} – 2}}.$29. Giải phương trình $2x + 1 + x\sqrt {{x^2} + 2} $ $ + x + 1\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 0.$30. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 4$ $ = \left {\frac{1}{x} – 2} \right\sqrt[3]{{3{x^2} + 6x + 2}}.$31. Giải phương trình $\sqrt {2 – \sqrt 2 1 + x} + \sqrt[4]{{2x}} = 1.$32. Giải phương trình ${x^2}\sqrt x + {x – 5^2}\sqrt {5 – x} $ $ = 11\sqrt x + \sqrt {5 – x} .$2. ĐÁP SỐ 1. $x = 1.$2. $x = – 1$, $x = 2.$3. $x = – 2.$4. $x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.$5. $x = 1.$6. $x = \frac{{8030 + 2\sqrt {8029} }}{4}.$7. $x = 1.$8. $x = 1.$9. $x = – 1$, $x = \frac{{5 + \sqrt {29} }}{2}.$10. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$, $x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2}.$11. $x = \frac{{\sqrt {73} – 5}}{6}$, $x = \frac{{ – \sqrt {69} – 7}}{6}.$12. $\frac{{ – 6 + 5\sqrt 2 }}{{14}}$, $\frac{{ – 8 – \sqrt {46} }}{{14}}.$13. $x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{{ – 9 – \sqrt {221} }}{{16}}.$14. $x = 2$, $x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}.$15. $x = 0$, $x = \frac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{3}.$16. $x = 0.$17. $x = 1.$18. $x = – 2 – 2\sqrt 7 $, $x = – 5 – \sqrt {31} .$19. $x = 1.$20. $x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$21. $x = \pm 1$, $x = – 3.$22. $x = 0.$23. $x = 0$, $x = \frac{8}{7}.$24. $x = 5$, $x = \frac{{19}}{3}.$25. $x = 1$, $x = – \frac{8}{7}.$26. $x = – 1$, $x = 0.$27. $x = – 1.$28. $x = 1$, $x = – \frac{1}{8}.$29. $x = – \frac{1}{2}.$30. $x = 2\cos \frac{\pi }{9}$, $x = 2\cos \frac{{5\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{7\pi }}{9}.$31. $x = {\left {\frac{{1 \pm \sqrt {\frac{{4 – 3\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[4]{2}}}} }}{2}} \right^4}.$32. $x = 1$, $x = 4.$ Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham đề Hệ phương trình lớp 9Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5 Hệ phương trìnhCác dạng hệ phương trình đặc biệtĐể tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các tập về cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Giải hệ phương trình" và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ+ Bước 1 Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa+ Bước 2 Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ+ Bước 3 Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn phụ+ Bước 4 Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình và kết hợp với điều kiện ban đầuII. Bài tập ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụBài 1 Giải các hệ phương trình dưới đâyLời giảia, I , điều kiện Đặt Khi đó hệ I trở thànhVới Với Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm b, I, điều kiện Đặt Khi đó hệ I trở thànhVới 1Với 2Từ 1 và 2, ta có hệ phương trìnhVậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y = 2; 1c, I, điều kiện Đặt Khi đó hệ I trở thànhVới 1Với 2Từ 1 và 2 ta có hệ phương trìnhVậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y = 3; 4d, IĐặt Khi đó hệ I trở thànhVới Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y = 2; 1 và x; y = 0; 1e, I, điều kiện Đặt Hệ I trở thànhVới Với Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y = 1; 3f, I, điều kiện Đặt Hệ I trở thànhVới tmVới tmVậy hệ phương trình có nghiệmIII. Bài tập tự luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụGiải các hệ phương trình dưới đây1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, -Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt! Với các phương trình và hệ phương trình ẩn là số thực, web đã đăng rất nhiều phương pháp giải ở chủ đề phương trình . Bài viết này sẽ giới t... Với các phương trình và hệ phương trình ẩn là số thực, web đã đăng rất nhiều phương pháp giải ở chủ đề phương trình. Bài viết này sẽ giới thiệu thêm một phương pháp giải phương trình và hệ pt nữa DÙNG SỐ PHỨC. Ý tưởng mới này sẽ giúp giải quyết một số pt, hệ pt nhanh gọn không ngờ. Bài viết của tác giả Nguyễn Tài Chung - Giáo viên chuyên Toán trường THPT chuyên Hùng Vương tỉnh Gia phương trình ẩn phức, bằng cách tách phần thực và phần ảo luôn có thể đưa về hệ phương trình ẩn thực, và ngược chi tiết trong 7 trang dưới đâySử dụng số phức để giải phương trình, hệ phương trìnhGiải phương trình ẩn số thực bằng cách dùng số phứcDùng số phức để giải hệ phương trình 2 ẩn thựcDùng số phức để giải pt, hệ pt ẩn là số thựcỨng dụng số phức trong việc giải phương trình và hệ pt ẩn thựcGiải pt, hệ pt trong đề học sinh giỏi quốc gia bằng số phức

cách giải hệ phương trình 5 ẩn